Terzo criterio di congruenza dei triangoli¶

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti le tre coppie di lati.

Ipotesi: $AB \cong A \text{ '} B \text{ '}$ , $BC \cong B \text{ '} C \text{ '}$ , $AC \cong A \text{ '} C \text{ '}$

Tesi: $ABC \cong A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ .

Dimostrazione: Abbiamo due triangoli, $ABC$ e $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ , dei quali sappiamo che i lati dell’uno sono congruenti ai lati dell’altro. Ribaltiamo il triangolo $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ e portiamo il segmento $A \text{ '} B \text{ '}$ sul segmento $AB$ in modo che il punto $A \text{ '}$ coincida con $A$ , il punto $B \text{ '}$ coincida con $B$ (ciò è possibile in quanto $AB \cong A ' B '$ ) ed in modo che il punto $C \text{ '}$ cada nel semipiano individuato dalla retta $AB$ opposto a quello in cui si trova C. Uniamo C con $C \text{ '}$ . Viene fuori un disegno diverso a seconda che il punto d’intersezione, che chiamiamo D, tra il segmento $CC \text{ '}$ e la retta per AB sia interna al segmento $AB$ oppure coincide con uno degli estremi ( $A$ o $B$ ) oppure sia esterno al segmento $AB$ . Il punto $D$ esiste in ogni caso in quanto $C$ e $C \text{ '}$ sono nei due semipiani opposti individuati dalla retta $AB$ , pertanto il segmento $CC \text{ '}$ deve necessariamente tagliare la retta per $AB$ .

Primo caso: $D$ è interno ad $AB$ .

Essendo $AC \cong A ' C '$ e $CB \cong C ' B '$ , i triangoli $ACC \text{ '}$ e $CC \text{ '} B$ sono isosceli, entrambi sulla base $CC \text{ '}$ . Dunque, per il teorema (diretto) del triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. Precisamente risulta: $A \widehat {C } C \text{ '} \cong A \widehat {C } \text{ '} C \text{ ''}$ e $C \text{ '} \widehat {C } B \cong C \widehat {C } \text{ '} B$ . Inoltre, $A \widehat {C } B \cong A \widehat {C } \text{ '} B$ in quanto somme di angoli congruenti:

$A \widehat {C } B \cong A \widehat {C } D + D \widehat {C } B \cong A \widehat {C } \text{ '} D + D \widehat {C } \text{ '} B \cong A \widehat {C } \text{ '} B$ .

In conclusione $ABC$ e $ABC \text{ '}$ sono congruenti per il primo criterio perché hanno: $AC \cong AC \text{ '}$ , $BC \cong BC \text{ '}$ , $A \widehat {C } B \cong A \widehat {C } \text{ '} B$ .

Infine, poiché $ABC \cong ABC \text{ '}$ e $ABC \text{ '} \cong A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ se ne deduce che $ABC \cong A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ .

Secondo caso: Il punto D coincide con uno dei due estremi $A$ e $A \text{ '}$ .

Poiché per ipotesi $CB \cong C \text{ '} B \text{ '}$ il triangolo $CBC \text{ '}$ è isoscele sulla base $CC \text{ '}$ , pertanto $A \widehat {C } B \cong A \widehat {C } \text{ '} B$ in quanto angoli alla base di un triangolo isoscele. I triangoli $ABC$ e $ABC \text{ '}$ sono congruenti per il primo criterio perché hanno $AC \cong AC \text{ '}$ , $BC \cong BC \text{ '}$ , $A \widehat {C } B \cong A \widehat {C \text{ '} } B$ . Infine, come per il caso precedente, poiché $ABC$ è congruente a $ABC \text{ '}$ e quest’ultimo è congruente a $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ anche $ABC$ è congruente a $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ .

Terzo caso: Il punto $D$ cade esternamente al segmento $AB$ .

Come nel primo caso, i triangoli $CAC \text{ '}$ è $CBC \text{ '}$ sono isosceli sulla base $CC \text{ '}$ , pertanto $A \widehat {C } C \text{ '} \cong A \widehat {C } \text{ '} C$ .. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}bookmarke $B \widehat {C } C \text{ '} \cong B \widehat {C } \text{ '} C$ . Per differenza di angoli congruenti si ottiene che $A \widehat {C } B \cong A \widehat {C } \text{ '} B$

Infatti $A \widehat {C } B \cong D \widehat {C } B - D \widehat {C } A \cong D \widehat {C } \text{ '} B - D \widehat {C } \text{ '} A \cong A \widehat {C } \text{ '} B$ . Da ciò segue che i triangoli $ABC$ e $ABC \text{ '}$ sono congruenti per il primo criterio in quanto hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso. Come per i casi precedenti, se $ABC$ è congruente a $ABC \text{ '}$ è congruente anche a $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$

Esercizi¶

Due triangoli sono congruenti se hanno
1. tre lati congruenti.. tabV F
2. tre angoli congruenti.. tabV F
3. due lati e l’angolo compreso congruenti.. tabV F
4. due angoli e il lato in comune congruenti.. tabV F
5. un lato e l’angolo opposto congruenti .. tabV F
Due triangoli equilateri sono congruenti se hanno lo stesso perimetro.
Dimostra che due triangoli equilateri che hanno in comune la base sono congruenti.
Se in due triangoli sono congruenti due coppie di lati e la mediana relativa ad uno di essi, allora i due triangoli sono congruenti.
Se in due triangoli sono congruenti due coppie di lati e la bisettrice relativa ad uno di essi, allora i due triangoli sono congruenti.
Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti la base e un altro lato.
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$ e vertice A prendi un punto $D$ sul lato $AB$ e un punto $E$ sul lato $AC$ , in modo che $BD \cong EC$ , unisci $C$ con $D$ e $B$ con $E$ , sia $\{ F \} = BE \cap DC$ , dimostra che i triangoli $BFA$ e $CFA$ sono congruenti.
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$ e vertice $A$ , prolunga il lato $AB$ di un segmento $BD$ e il lato $AC$ di un segmento $CE$ in modo che $BD \cong CE$ , prolunga la base BC di un segmento $BG$ , dalla parte di $B$ , e di un segmento $CF$ dalla parte di $C$ , in modo che $BG \cong CF$ . Dimostra che sono congruenti i triangoli $ADG$ e $AEF$ .
In un triangolo scaleno $ABC$ sia $AC > BC$ . Prolunga $BC$ , dalla parte di $C$ , di un segmento $CD$ congruente ad $AC$ e prolunga $AC$ , dalla parte di $C$ , si un segmento $CE$ congruente a $BC$ . Detto $H$ il punto di intersezione della retta per $AB$ con la retta per $DE$ , dimostra che $AH \cong DH$ .
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$ e vertice $A$ , prolunga il lato $AB$ di un segmento $BD$ e il lato $AC$ di un segmento $CE$ in modo che $BD \cong CE$ . Unisci $D$ con $C$ e prolunga il segmento $DC$ , dalla parte di $C$ di un segmento $CF$ . Unisci $E$ con $B$ e prolunga il segmento $EB$ dalla parte di $B$ di un segmento $BG$ congruente a $CF$ . Dimostra che i triangoli $AGD$ e $AFE$ sono congruenti.
Dato l’angolo convesso non piatto $a \hat {O } b$ si prenda un punto $A$ sul lato $a$ e un punto $B$ sul lato $b$ , in modo che $OA \cong OB$ . Sia $M$ il punto medio di $OA$ e $N$ il punto medio di $OB$ , congiungi $A$ con $N$ e $B$ con $M$ , indica con $P$ in punto di intersezione. Dimostra che sono congruenti i triangoli $OBC$ e $OAD$ e i triangolo $AOP$ $OPB$ .
Nel triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ , prendi un punto $D$ sulla bisettrice $CH$ dell’angolo al vertice $C$ , indica con $E$ il punto di intersezione della retta $AD$ con $BC$ e $F$ il punto di intersezione di $BD$ con $AC$ . Dimostra che i triangoli $FDA$ e $EDB$ sono congruenti.
Siano $ABC$ e $ABD$ due triangoli isosceli aventi la base $AB$ in comune e i vertici $C$ e $D$ situati da parti opposte rispetto ad $AB$ . Dimostrare che $A \hat {C } D \cong D \hat {C } B$ .
Sia $P$ un punto interno al triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e sia $AP \cong PB$ . Si dimostri che $CP$ appartiene alla bisettrice dell’angolo in $C$ .
Due triangoli equilateri $ABC$ e $DBC$ hanno la base $BC$ in comune e i vertici $A$ e $D$ situati da parti opposte rispetto alla base $BC$ . Dimostra che i due triangoli sono congruenti.
Siano $ABC$ e $A ' B ' C '$ due triangoli congruenti. Si fissino su $AC$ un punto $P$ e su $A ' C '$ un punto P’ tali che $AP \cong A \text{ '} P \text{ '}$ . Si fissino su $BC$ un punto $Q$ e su $B ' C '$ un punto $Q '$ tali che $BQ \cong B \text{ '} Q \text{ '}$ . Si dimostri che $PQ \cong P \text{ '} Q \text{ '}$ .
Due triangoli, che hanno un lato congruente e hanno congruenti anche i due angoli esterni al triangolo aventi per vertici gli estremi del lato congruente, sono congruenti.
Dato il triangolo $ABC$ e un punto $O$ esterno al triangolo, si unisca $O$ con $A$ , con $B$ e con $C$ . Si prolunghi ciascun segmento, dalla parte di $O$ , dei segmenti $OA ' \cong OA$ , $OB ' \widetilde {\text{ = } } OB$ , $OC ' \cong OC$ Dimostra che $ABC \cong A ' B ' C '$ .
Siano $LMN$ i punti medi dei lati del triangolo isoscele $ABC$ , dimostra che anche $LMN$ è isoscele.
Siano $MN$ i punti medi dei lati congruenti $AB$ e $AC$ del triangolo isoscele $ABC$ , dimostra che le mediane $AM$ e $AN$ sono congruenti.
Siano $A \widehat {O } B$ e $B \widehat {O } C$ due angoli consecutivi congruenti, sia $OM$ la bisettrice dell’angolo $A \hat {O } B$ . Sulle semirette $OC$ , $OB$ , $OM$ e $OA$ si prendano rispettivamente i segmenti tutti congruenti tra di loro $OC '$ , $OB '$ , $OM '$ , $OA '$ . Dimostrare che $A ' M ' \cong M ' B '$ , $A ' B ' \cong B ' C '$ .
Sia $OM$ la bisettrice dell’angolo $A \hat {O } B$ , sui lato dell’angolo $A \hat {O } B$ si prendano i punti $P$ e $Q$ tali che $OP \cong OQ$ . Sia $C$ un punto qualsiasi della bisettrice $OM$ . Dimostra che $CP \cong CQ$ .
Sia ABC un triangolo. Sulla bisettrice dell’angolo $B \hat {A } C$ considera due punti D ed E tali che $AD \cong AB$ e $AE \cong AC$ . Dimostra che $BE \cong DC$ .
* Si disegnino due triangoli congruenti ABC e A’B’C’. Sui lati congruenti AB e A’B’, si considerino i punti D e D’ in modo che $AD \cong A ' D '$ . Dimostrare che $C \widehat {D } B \cong C ' \widehat {D } ' B '$ .
* Si disegni un angolo $A \hat {V } B$ e la sua bisettrice VC. Da un punto E della bisettrice si tracci una retta che formi con la bisettrice due angoli retti. Questa retta interseca i lati dell’angolo nei punti A e B. Dimostrare che $AO \cong BO$ .
* Disegna il triangolo ABC, con AB>AC. Traccia la bisettrice AD dell’angolo in A. Dal punto D traccia una semiretta che formi con la bisettrice stessa un angolo congruente all’angolo $A \hat {D } C$ . Tale semiretta incontra AB nel punto E. Dimostra che CD e DE sono congruenti.
* Si disegnino i triangoli congruenti ABC e A’B’C’. Dimostrare che le bisettrici di due angoli congruenti sono congruenti.
* Sia ABC un triangolo, e sia AK la bisettrice dell’angolo in A. Da K si conduca una retta che formi due angoli retti con AK e che incontri la retta AB in D e la retta AC in E. Dimostrare che il triangolo ADE è isoscele.
* Si consideri il triangolo ABC. Si prolunghi il lato AB, dalla parte di B, di un segmento $BE \cong AB$ e il lato BC, dalla parte di B, di un segmento $BF \cong BC$ ; si congiunga E con F. Considerati il punto medio M di AC e il punto medio N di EF, dimostrare che B è sul segmento MN.
* Siano AB un segmento ed M il suo punto medio. Si disegni la retta r tale che M sia su r, e su di essa si individuino i segmenti congruenti MC ed MD, in semipiani opposti rispetto alla retta AB. Congiunti A con D e B con C, si dimostri che i triangoli AMD e MBC sono congruenti.
* Si disegnino due angoli consecutivi e congruenti $a \hat {V } b$ e $b \hat {V } c$ e le rispettive bisettrici d ed e. Sulle semirette a e b si scelgano rispettivamente i punti A e B tali che $VA \cong VB$ . Sulle bisettrici d e e si scelgano rispettivamente i punti C e D tali che $VC \cong VD$ . Si congiungano A con C e B con D. Dimostrare che $V \hat {A } C \cong V \hat {B } C \cong V \hat {B } D$ .
* Si disegni il triangolo ABC, con AB > AC, e si conduca la bisettrice AD dell’angolo in A. Da D si conduca la semiretta a che forma con la bisettrice b un angolo congruente a $A \hat {D } C$ , e la semiretta a interseca il lato AB in E. Si dimostri che $CD \cong DE$ .
* Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C; si prolunghino i lati AC e BC, dalla parte della base AB, di due segmenti AD e BE tali che $AD \cong BE$ . Si dimostri che il punto $F = AE \cap BD$ appartiene alla bisettrice dell’angolo $A \hat {C } B$ .
* Due triangoli isosceli ABC e CED e rettangoli in C sono tali che $\{ C \} = ABC \cap CED$ . Sapendo che l’angolo $B \hat {C } D$ è acuto, si dimostri che $AD \text{ = } BE$ .
* Disegnare due segmenti congruenti AB e DE. Costruire su essi due triangoli equilateri ABC e DEF. Si dimostri che i triangoli sono congruenti. Si può dimostrare ancora la congruenza se si costruiscono sui due segmenti due triangoli isosceli?
* Nel triangolo isoscele ABC, di base AB, prolunga i lati CA e CB dalla parte della base. La bisettrice dell’angolo supplementare di $\hat {A }$ incontra il prolungamento del lato BC nel punto E. La bisettrice dell’angolo supplementare di $\hat {B }$ incontra il prolungamento del lato AC nel punto F. Dimostra che $ABF \cong ABE$ .
* Disegna un triangolo isoscele ABC in modo che la base AB sia minore del lato obliquo. Prolunga il lato CA, dalla parte di A, di un segmento AE congruente alla differenza fra il lato obliquo e la base. Prolunga poi la base AB, dalla parte di B, di un segmento $BF \cong AE$ . Congiungi F con C ed E. Dimostra che $CF \cong EF$ .
* Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C; si prendano sui prolungamenti di AB due punti D ed E tali che $AD \cong BE$ . Si dimostri che $ADC \cong BEC$ e $AEC \cong BDC$ .
* Sui lati congruenti del triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna due segmenti congruenti CE e CF. Congiungi E con B, poi A con F; indica con D il loro punto d’intersezione. Dimostra che anche il triangolo ABD è isoscele.
* Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Si conducano le bisettrici degli angoli alla base e sia E il loro punto d’incontro. Dimostrare che il triangolo ABE è isoscele.
* Sui due lati obliqui del triangolo isoscele ABC, di base AB, disegna, esternamente al triangolo, i triangoli equilateri BCD e ACE. Congiungi A con D e B con E, poi indica con F il punto intersezione dei segmenti ottenuti. Dimostra che $AD \text{ = } BE$ e che CF è bisettrice di $A \hat {C } B$ .
* Disegna un triangolo isoscele ABC, di base BC e l’angolo acuto in A. Traccia le altezze BH e CK relative, rispettivamente, ai lati AC e AB e prolunga tali altezze, dalla parte di H e K, dei segmenti $HB ' \cong BH$ e $KC ' \cong CK$ . Sia A’ il punto d’intersezione della retta BC’ con la retta B’C. Dimostra che $ABC \cong AC ' B \cong AB ' C$ e che il triangolo A’B’C’ è isoscele.
* Siano dati due triangoli isosceli aventi ordinatamente congruenti un lato e la base. Dimostrare che i due triangoli sono congruenti.
* Si consideri un angolo $a \hat {O } b$ ; siano A, B due punti del lato a e siano C, D due punti del lato b tali che $OA \cong OC$ e $OB \cong OD$ . Si congiungano A con D e B con C e sia E il punto di intersezione tra AD e BC. Si dimostri che il punto E appartiene alla bisettrice dell’angolo $a \hat {O } b$ .

Gli esercizi indicati con * sono tratti da Matematica 1, Dipartimento di Matematica, ITIS V.Volterra, San Donà di Piave, Versione [11-12] [S-A11], pagg. 118, 119, 124, 125; licenza CC, BY-NC-BD, per gentile concessione dei proff. che hanno reddatto il libro. Il libro è scaricabile da

http://www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M1_1112.pdf