Teoremi del triangolo isoscele¶

Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti, l’eventuale lato non congruente si chiama base, i due lati congruenti si dicono lati obliqui.

Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele: si dice che il triangolo equilatero è isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base.

Teorema diretto del triangoli isoscele¶

In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti.

Ipotesi: $AC \cong BC$

Tesi: $B \hat {A } C \cong A \hat {C } B$

Dimostrazione

Tracciamo la bisettrice $CK$ dell’angolo in $C$ .

I triangolo $ACK$ e $BCK$ sono congruenti per il primo criterio, infatti hanno:

$AC \cong CB$ per ipotesi

$CK$ lato in comune

$A \widehat {C } K \cong B \widehat {C } K$ perché $CK$ è la bisettrice dell’angoloin $C$ .

Pertanto, essendo congruenti hanno tutti gli elementi congruenti, in particolare l’angolo in $A$ è congruente all’angolo in $B$ . Q.e.d.

Il teorema precedente è invertibile, nel senso che è valido anche il teorema inverso, quello che si ottiene scambiando ipotesi e tesi.

Teorema inverso del triangoli isoscele¶

Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele (rispetto al lato compreso tra gli angoli congruenti preso come base).

Ipotesi: $C \hat {A } B \cong C \hat {B } A$

Tesi: $A C \cong B C$

Dimostrazione: Procediamo per passi, realizzando una costruzione che ci permetta di confrontare coppie di triangoli congruenti. Prolunghiamo i lati $AC$ e $BC$ dalla parte di $A$ e di $B$ rispettivamente, e sui prolungamenti prendiamo due punti $D$ ed $E$ in maniera tale che risulti $A D \cong B E$ .

Osserviamo che i triangoli $ADB$ e $BAE$ risultano congruenti per il 1° criterio, avendo in comune il lato $AB$ ed essendo $A D \cong B E$ per costruzione e $D \hat {A } B \cong A \hat {B } E$ perché adiacenti agli angoli $C \hat {A } B$ e $C \widehat {B } A$ congruenti per ipotesi.Pertanto, tutti gli elementi dei due triangoli $ADB$ e $AEB$ sono ordinatamente congruenti, in particolare $DB \cong AE$ , $A \widehat {D } B \cong B \widehat {E } A$ $A \widehat {B } D \cong B \widehat {A } E$ .

Confrontiamo ora i triangoli CDB e CAE ,risultano congruenti per il 2° criterio poiché hanno $D B \cong A E , C \hat {D } B \cong C \hat {B } A$ per quanto appena dimostrato e $C \hat {B } D \cong C \hat {A } E$ perché somma di angoli rispettivamente congruenti: $C \hat {B } D \cong C \hat {B } A + A \hat {B } D$ e $C \hat {A } E \cong C \hat {A } B + B \hat {A } E$ .

Pertanto, i restanti elementi dei due triangoli risultano ordinatamente congruenti:

In particolare $CB \cong CA$ , che è la tesi che volevamo dimostrare. Q.e.d.

Dai due teoremi precedenti seguono importanti proprietà, che qui riportiamo come corollari.

Corollari¶

Un triangolo equilatero è anche equiangolo.

Viceversa, se un triangolo è equiangolo, allora è equilatero.

Un triangolo scaleno non ha angoli congruenti.

Viceversa, se un triangolo non ha angoli congruenti, allora è scaleno.

Dimostrazioni

Poiché un triangolo equilatero è isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base, la tesi segue dal teorema diretto del triangolo isoscele.
Possiamo confrontare gli angoli a due a due; risulteranno i lati congruenti a due a due in base al teorema inverso del triangolo isoscele.
Se per assurdo un triangolo scaleno avesse due angoli congruenti, allora risulterebbe isoscele, in base al teorema inverso del triangolo isoscele.
Se per assurdo un triangolo che non ha angoli congruenti non fosse scaleno, il che vuol dire che sarebbe isoscele, allora avrebbe angoli congruenti in contrasto con l’ipotesi di assurdo. Q.e.d.

Proprietà del triangolo isoscele¶

In ogni triangolo isoscele, la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice.

In figura, $CJ$ è per ipotesi la bisettrice dell’angolo al vertice del triangolo $ABC$ , $FK$ è la mediana relativa alla base $DE$ del triangolo $D E F$ , $IL$ è l’altezza relativa alla base $GH$ del triangolo $GHI$ .

Dividiamo l’enunciato in tre parti:

a) In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana relativa alla base.

b) In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche bisettrice dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base.

c) In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche bisettrice dell’angolo al vertice e mediana relativa alla base.

Dimostriamo le prime due parti della proposizione.

Per ciascuna delle tre parti precedenti, scriviamo ipotesi e tesi; utilizziamo i tre triangoli della figura, segnaliamo che $CJ$ è per ipotesi la bisettrice dell’angolo al vertice del triangolo $ABC$ , $FK$ la mediana relativa alla base $DE$ del triangolo $D E F$ , $IL$ l’altezza relativa alla base $GH$ del triangolo $GHI$ .

In $ABC$ :

Ipotesi: $AC \cong CB$ , $C \widehat {A } B \cong C \widehat {B } A$ , $A \widehat {C } J \cong B \widehat {C } J$

Tesi: $CJ \perp AB$ , $AJ \perp JB$ .

In $D E F$ :

Ipotesi: $DF \cong FE$ , $F \widehat {D } E \cong F \widehat {E } D$ , $DK \cong KE$ .. tab

Tesi: $FK \perp DE$ , $D \widehat {F } K \cong E \widehat {F } K$ .

In GHI:

Ipotesi: $IG \cong IH$ , $I \widehat {G } H \cong I \widehat {H } G$ , $IL \perp GH$

Tesi: $G \widehat {I } L \cong H \widehat {I } L$ , $GL \perp LH$ .

Avviamo la dimostrazione delle prime due parti, che lasciamo completare al lettore, rimandando al prossimo capitolo la dimostrazione della terza parte. Utilizziamo i primi due criteri di congruenza, i teoremi del triangolo isoscele e le nozioni comuni della geometria euclidea.

Dimostrazione a): I triangoli $AJC$ e $CJB$ sono congruenti per il secondo criterio. Infatti… Dunque $AJ \cong JB$ e $A \widehat {J } C \cong C \widehat {J } B$ che risultano pertanto retti in quanto adiacenti.

Dimostrazione b): I triangoli $DKF$ e $FKE$ sono congruenti per il primo criterio. Infatti… Dunque $D \widehat {F } K \cong E \widehat {F } K$ e $F \widehat {K } D \cong F \widehat {K } E$ che risultano pertanto retti in quanto adiacenti. Q.e.d.

Esercizi¶

In un triangolo isoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti.
In un triangolo isoscele le bisettrici degli angoli alla base sono congruenti.
Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti l’angolo al vertice e uno dei lati obliqui.
Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti la base e uno degli angoli ad essa adiacenti.
Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti la base e la bisettrice dell’angolo al vertice.
Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti gli angoli al vertice e due lati corrispondenti qualsiasi.
Due triangoli, che hanno congruenti due lati e la mediana relativa ad uno dei due, sono congruenti.
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ , prendi su $AC$ un punto $M$ e su $BC$ un punto $N$ in modo che $CM \cong CN$ , quali delle seguenti coppie di triangoli sono congruenti? Dimostralo.

$ACN \cong ANB$ $ACN \cong BCM$ $ABN \cong ABM$ $ABC \cong MNC$
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ , indica con $M$ il punto medio di $AC$ , con $N$ il punto medio di $CB$ e con $H$ il punto medio di $AB$ . Quali delle seguenti coppie di triangoli sono congruenti?

$AMH$ e $HNB$

$MNH$ e $MNC$

$AMH$ e $MCN$
Sui lati $AC$ e $CB$ del triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ considera rispettivamente due punti $D$ ed E tali che $CD \cong CE$ . Dimostra che i triangoli $ADB$ e $AEB$ son congruenti. Detto $P$ il punto di intersezione tra $AE$ e $DB$ , dimostrare che $ABP$ e $DPE$ sono triangoli isosceli.
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ prolunga la base $AB$ , dalla parte di $A$ di un segmento $AD$ e dalla parte di $B$ di un segmento $BE$ congruente ad $AD$ . Dimostra che anche il triangolo $DEC$ è isoscele.
Nel triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$ , prendi sul prolungamento di $BC$ due segmenti congruenti $BQ \cong AP$ , dimostra che $APQ$ è isoscele.
Due triangoli isosceli $ABC$ e $ABD$ hanno in comune la base $AB$ , i vertici $C$ e $D$ sono situati da parti opposte rispetto alla base $AB$ . Dimostra che la retta per $CD$ è bisettrice dell’angolo in $C$ .
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ traccia le bisettrici $BD$ all’angolo in $B$ e $AE$ all’angolo in $A$ . Dimostra che $BD \cong AE$ . Detto $O$ il punto di intersezione delle bisettrici dimostra che $AOB$ è isoscele. Dimostra che il triangolo $ADO$ è congruente al triangolo $BEO$ .
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ prolunga, dalla parte di $C$ la bisettrice $CD$ dell’angolo in $C$ di un segmento $CE$ . Dimostra che $ED$ è bisettrice dell’angolo $A \hat {E } D$ .
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ prendi su $AC$ un punto $D$ e su $BC$ il punto E tali che $AD \cong BE$ . Detto O il punto di intersezione di $AE$ con $BD$ , dimostra che $AOB$ è isoscele.
In un triangolo $ABC$ sia $M$ il punto medio di $AB$ . Traccia la mediana $CM$ e prolungala dalla parte di $M$ di un segmento $MD$ congruente a $CM$ . Dopo aver dimostrato che il triangolo $AMC$ è congruente a $BMD$ , dimostra che se $CM$ è bisettrice dell’angolo in $C$ allora $ABC$ è isoscele.
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ , prendi su $AC$ un punto $D$ e su $CB$ un punto E in modo che $CD \cong CE$ . Dimostra che il triangolo $DME$ , dove $M$ è il punto medio della base $AB$ , è isoscele.
Due triangoli isoscele hanno in comune la base,dimostra che la retta che unisce i vertici dei due triangoli divide la base a metà.
In un triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ e vertice $C$ , si ha che $AC \cong CB \cong 2 AB$ . Indica con $M$ il punto medio di $AC$ e $N$ il punto medio di $BC$ , $P$ il punto di intersezione di $BM$ con $AN$ . Individua tutti i triangoli isosceli che si vengono a formare. Dimostra che $ACN$ è congruente a $BCM$ , che $ABP$ è isoscele, che $P$ appartiene all’altezza $CH$ del triangolo.
Sia dato il triangolo $ABC$ e sia $M$ il punto medio del lato $AB$ . Si prolunghi $CM$ di un segmento $MD \cong CM$ . Dimostrare che $A \hat {C } B \cong A \hat {D } B$ .
Si prolunghino i lati $AC$ e $CB$ del triangolo isoscele ABC rispettivamente di due segmenti $CP$ e $CQ$ tra loro congruenti. Dimostrare che $A \widehat {Q } B \cong A \widehat {P } B$ e che $A \widehat {B } P \cong Q \widehat {A } B$ .
Sulla base $AB$ di un triangolo isoscele $ABC$ prendi i punti $M$ e $N$ tali che $AM < AN$ e $AM \cong NB$ . Dimostra che $CMN$ è isoscele.
Sia $D$ il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele $ABC$ di vertice $A$ . Dimostra che $BDC$ è isoscele.
Nel triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$ prolunga $AB$ di un segmento $BD$ e $AC$ di un segmento $CE$ in modo che $BD \cong CE$ . Dimostra che $BE \cong DC$ .