Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli¶

Ricordiamo che due figure piane sono congruenti se sono sovrapponibili, cioè se è possibile spostare una sull’altra, senza deformarle, in modo che coincidano perfettamente.

In particolare, due triangoli sono sovrapponibili se hanno “ordinatamente” congruenti i tre lati ed i tre angoli. Con il termine ordinatamente intendiamo che, a partire da una coppia di vertici e procedendo lungo il contorno in senso orario oppure antiorario, incontriamo lati congruenti e vertici di angoli congruenti. Nel caso dei triangoli, questo succede esattamente quando angoli congruenti nei due triangoli sono compresi tra coppie di lati congruenti o, in maniera equivalente, quando sono opposti a lati congruenti.

I criteri di congruenza dei triangoli ci dicono che basta conoscere la congruenza di solo alcuni elementi dei due triangoli, generalmente tre elementi di un triangolo congruenti a tre elementi dell’altro triangolo, per poter affermare la congruenza di due triangoli, e quindi dedurne la congruenza degli altri elementi.

Un modo tradizionale di presentare l’argomento, dovuto allo stesso Euclide, è quello di “dimostrare” i primi due criteri di congruenza dei triangoli facendo uso della definizione di congruenza come “uguaglianza per sovrapposizione”, e di utilizzarli successivamente per la verifica di altre proprietà.

Secondo il matematico tedesco D. Hilbert (1862-1943), il primo criterio di congruenza è un assioma, il secondo criterio può essere dimostrato per assurdo attraverso il primo.

Presenteremo questi argomenti basilari alla maniera di Euclide.

Primo criterio di congruenza dei triangoli¶

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.

Ipotesi:

$AC \cong A \text{ '} C \text{ '}$ $BC \cong B \text{ '} C \text{ '}$ $A \widehat {C } B \cong A \text{ '} \widehat {C } \text{ '} B \text{ '}$

breakTesi: $ABC \cong A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$

Dimostrazione. Vogliamo provare che il triangolo $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ può essere portato a sovrapporsi perfettamente al triangolo $ABC$ .

A tal proposito, portiamo il punto $C \text{ '}$ sul punto $C$ in modo tale che la semiretta $C \text{ '} A \text{ '}$ sia sovrapposta alla semiretta $CA$ ed i punti $B$ e $B \text{ '}$ siano nello stesso semipiano individuato dalla retta $AC$ .

Dopo questo movimento, i triangoli potrebbero trovarsi nella posizione della figura a lato?

Vediamo perché questa situazione non è possibile. Abbiamo supposto per ipotesi che i segmenti $AC$ e $A \text{ '} C \text{ '}$ siano congruenti, pertanto se $C$ coincide con $C \text{ '}$ anche $A$ deve coincidere necessariamente con $A \text{ '}$ , mentre nella figura $A \text{ '} C \text{ '}$ è maggiore di $AC$ .

Allora i triangoli potrebbero trovarsi almeno nella seguente posizione, nella quale A e A’ coincidono?

Tuttavia nemmeno questa posizione è possibile poiché abbiamo supposto per ipotesi che gli angoli $\gamma$ e $\gamma \text{ '}$ siano congruenti, mentre dalla figura risulta che $\gamma$ è maggiore di $\gamma \text{ '}$ . Di conseguenza la semiretta per $CB$ e la semiretta per $C \text{ '} B \text{ '}$ devono sovrapporsi, in quanto devono formare lo stesso angolo con la semiretta per $CA$ .

A questo punto, rimane da fissare la posizione di $B \text{ '}$ rispetto a $B$ , cioè rimane da decidere se $B \text{ '}$ cade internamente al segmento $CB$ , come nella figura che segue, se $B \text{ '}$ cade esternamente al segmento $CB$ o se $B \text{ '}$ e $B$ coincidono.

Poiché per ipotesi $BC \cong B \text{ '} C \text{ '}$ , il punto $B \text{ '}$ deve necessariamente coincidere con $B$ . Pertanto i vertici del triangolo $ABC$ si sovrappongono ai vertici del triangolo $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ e di conseguenza i triangoli $ABC$ e $A \text{ '} B \text{ '} C \text{ '}$ sono congruenti.Q.e.d.

Primo criterio di congruenza dei triangoli¶

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.

Ipotesi: $AB \cong DE$ , $C \widehat {A } B \cong F \widehat {D } E$ , $A \widehat {B } C \cong D \widehat {E } F$ .

Tesi: $A B C \cong D E F$ .

Dimostrazione. Vogliamo provare che il triangolo $D E F$ può essere portato a sovrapporsi perfettamente al triangolo $ABC$ .

A tal proposito, in virtù della congruenza dei lati AB e DE, portiamo a sovrapporre il segmento DE al segmento AB in maniera tale che D coincida con A, E coincida con B, e i punti C ed F siano nello stesso semipiano individuato dalla retta AB.

I due triangoli potrebbero trovarsi nella seguente posizione?

Dalla congruenza degli angoli $\widehat {A }$ e $\widehat {D }$ , segue che la semiretta DF sarà sovrapposta alla semiretta AC; analogamente, dalla congruenza degli angoli $\hat {B } \text{ e } \hat {E }$ , segue che la semiretta EF sarà sovrapposta alla semiretta BC. Dunque C ed F devono necessariamente coincidere, perché sono l’unica intersezione di due rette incidenti. Poiché i tre vertici si sono sovrapposti, i due triangoli sono completamente sovrapposti e quindi sono congruenti. Q.e.d.

Esempio

Si considerino due rette incidenti, $r$ ed $s$ , ed il loro punto in comune $P$ . Sulle semirette opposte di origine $P$ si prendano punti equidistanti da $P$ , come in figura, in maniera tale che $AP \cong PB$ , $CP \cong PD$ . Dimostra che, unendo i quattro punti in modo da costruire un quadrilatero, i quattro triangoli che si vengono a formare sono a due a due congruenti: $ACP \cong BDP$ , $ADP \cong BPC$ .

Realizziamo il disegno ed esplicitiamo ipotesi e tesi

Ipotesi

$r \cap s = P$

$AP \cong PB$

$CP \cong PD$

Tesi

$\begin{array}{l } ACP \cong BDP \\ADP \cong BPC \end{array}$

Dimostrazione. I triangoli $ACP$ e $BPD$ hanno: $AP \cong PB$ per ipotesi, $CP \cong PD$ per ipotesi, $A \widehat {P } C \cong B \widehat {P } D$ perché opposti al vertice. Pertanto sono congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli.

Analogamente, i triangoli $ADP$ e $BPC$ hanno: … … … … … … … …

Esempio

Si considerino un segmento AB ed il suo punto medio M. Si tracci una generica retta r passante per M e distinta dalla retta per AB. Si traccino inoltre due semirette di origine rispettivamente A e B, situate nei due semipiani opposti rispetto alla retta per AB, che intersechino la retta r rispettivamente in C e in D e che formino con la retta per AB due angoli congruenti (vedi figura). Detti C e D i rispettivi punti d’intersezione delle due semirette con la retta r, dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.

Ipotesi:

$AM \cong MB$

$M \widehat {A } C \cong M \widehat {B } D$

Tesi:

$AMC \cong BMD$

Dimostrazione. I segmenti $AM$ e $MB$ sono congruenti in quanto $M$ è il punto medio di $AB$ , gli angoli di vertice $M$ sono congruenti perché opposti al vertice, gli angoli di vertice $A$ e $B$ sono congruenti per costruzione. Allora i triangoli $AMC$ e $BMD$ sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Esercizi sul 1° e 2° criterio di congruenza dei triangoli

Esercizi¶

Per ciascuna delle seguenti coppie di triangoli indica se sono congruenti ed eventualmente per quale criterio.
1. Si sa che sono congruenti i lati $AB$ con $A \text{ '} B \text{ '}$ e $AC$ con $A \text{ '} C \text{ '}$ , l’angolo in $A$ con l’angolo $A \text{ '}$ . I triangoli sono congruenti? Se sì, per
2. Si sa che sono congruenti i lati $AB$ con $A \text{ '} B \text{ '}$ e gli angoli in $A$ con $B \text{ '}$ e $B$ con $A \text{ '}$ . I triangoli sono congruenti? Se sì, per
3. Si sa che sono congruenti ilati $AB$ con $A \text{ '} B \text{ '}$ e $BC$ con $A \text{ '} C \text{ '}$ , l’angolo in $A$ con $A \text{ '}$ . I due triangoli sono congruenti? Se sì, per
In un triangolo $ABC$ prolunga la mediana $AM$ di un segmento $MD$ congruente a $MA$ . Dimostra che il triangolo $AMC$ è congruente al triangolo $BMD$ e che il triangolo $ABM$ è congruente al triangolo $CMD$ .
Due triangoli $ABC$ e $D E F$ hanno il lati $AB$ e $DE$ congruenti, hanno inoltre gli angoli esterni ai vertici $A$ e $B$ rispettivamente congruenti agli angoli esterni ai vertici $D$ e $E$ . Dimostra che i due triangoli sono congruenti.
Si consideri il segmento $AB$ e per il suo punto medio $M$ si tracci una retta r qualsiasi. Su tale semiretta, da parti opposte rispetto a $AB$ , si prendano due punti $S$ e $T$ tali che $SM \cong MT$ . Dimostrare che i triangoli $AMS$ e $TMB$ sono congruenti.
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti.
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti un cateto e l’angolo acuto adiacente ad esso.
Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti l’angolo al vertice e i due lati obliqui.
Nel triangolo isoscele $ABC$ , di base $BC$ , prolunga la bisettrice $AD$ di un segmento $DE$ . Dimostra che $AE$ è bisettrice dell’angolo $B \widehat {E } C$ .. Warning, unrecognized: {urn:oasis:names:tc:opendocument:xmlns:text:1.0}bookmark
Dati due triangoli congruenti $ABC$ e $A ' B ' C '$ , si considerino sui lati $AC$ e $A ' C '$ due punti $D$ e $D '$ tali che $DC \cong D ' C '$ . Dimostrare che $DB \cong D ' B '$ .
Siano ABC e DEF due triangolo congruenti. Sui lati congruenti AB e DE prendi il punto G su AB e H su DE, in modo che $AG \cong DH$ . Dimostra che anche GC è congruente ad HF.
In un triangolo ABC, sul prolungamento del lato AB, dalla parte di B, prendi un punto D tale che $BD \cong AB$ , analogamente sul prolungamento del lato CB, dalla parte di B, prendi un punto E tale che $EB \cong BC$ . Dimostra che la mediana $BM$ del triangolo $ABC$ è allineata con la mediana $BN$ del triangolo $DBE$ , ossia che l’angolo formato dalle due mediane è un angolo piatto.
Del triangolo $ABC$ prolunga il lato $AB$ di un segmento $BD$ congruente a $BC$ , analogamente prolunga il lato $CB$ di un segmento $BE$ congruente ad $AB$ . Traccia la bisettrice $BF$ del triangolo $ABC$ e la bisettrice $BG$ del triangolo $DBE$ . Dimostra che $BF \cong BG$ .
Nel triangolo $ABC$ traccia la bisettrice $AD$ dell’angolo in $A$ . Con origine in $D$ traccia due semirette che incontrano rispettivamente $AC$ in $E$ e $AB$ in $F$ , in modo che $A \widehat {D } F \cong A \widehat {D } E$ . Dimostra che il triangolo $AFE$ è un triangolo isoscele.
Nel triangolo $ABC$ con $AC < AB$ traccia la bisettrice $AD$ dell’angolo in $A$ . Per il punto $D$ traccia la perpendicolare alla bisettrice $AD$ . Detti $E$ ed $F$ i punti in cui la perpendicolare incontra rispettivamente i lati $AC$ e $AB$ , dimostra che $AF \cong AE$ .
Sui prolungamenti oltre $A$ del lato $AC$ , oltre $B$ del lato $AB$ e oltre $C$ del lato $BC$ di un triangolo equilatero $ABC$ si considerino i segmenti congruenti $AA '$ , $BB '$ , $CC '$ . Dimostrare che il triangolo $A ' B ' C '$ è ancora equilatero.
Dato l’angolo convesso $b \widehat {A } c$ si considerino su $b$ i due punti $B$ e $B '$ , su c si considerino i punti $C$ e $C '$ , tali che $AB$ e $AB '$ siano rispettivamente congruenti con $AC$ e con $AC '$ . Dimostrare che $BB '$ e $BC '$ sono rispettivamente congruenti con $CC '$ e $B ' C$ .
Dato un segmento $AB$ , condurre per il suo punto medio $M$ una qualsiasi retta r e considerare su di essa, da parti opposte rispetto ad $AB$ , due segmenti congruenti $MC$ e $MD$ . Dimostrare che i triangoli $AMC$ e $BMD$ sono congruenti.
Sui lati dell’angolo $X \widehat {O } Y$ si considerino i punto $A$ e $B$ tali che $OA \cong OB$ . Sia $H$ un punto della bisettrice dell’angolo tale che $OH < OA$ . Siano $T$ il punto di intersezione di $AH$ con $OY$ e $S$ il punto di intersezione di $BH$ con $OX$ . Dimostrare che $AH \cong HB$ e $SH \cong HT$ .
Si consideri un punto $O$ interno al triangolo $ABC$ e si congiunga tale punto con i vertici $A$ e $B$ del triangolo. Si prolunghino i segmenti $AO$ e $BO$ oltre $O$ di due segmenti $OA '$ e OB’ rispettivamente congruenti ai suddetti segmenti. Dimostrare che i segmenti AB e A’B’ sono congruenti.
Si considerino i triangoli congruenti ABC e A’B’C’ e si prolunghino i lati AB e A’B’ di due segmenti $BP$ e $B ' P '$ tra loro congruenti. Si prolunghino inoltre i lati $AC$ e $A ' C '$ di due segmenti $CQ$ e $C ' Q '$ tra loro congruenti. Si dimostri che sono congruenti i triangoli $APQ$ e $A ' P ' Q '$ ; $CP \cong C ' P '$ , $QB \cong Q ' B '$ .
Sui lati a e b di un angolo di vertice $O$ prendi i punti $A$ e $B$ sulla semiretta a e i punti $C$ e $D$ sulla semiretta b, in modo che $OA \cong OC$ e $AB \cong CD$ . Sia $E$ il punto di intersezione di $AD$ con $BC$ . Dimostra che sono congruenti i triangoli $ABE$ e $CDE$ .
Sui lati di un angolo convesso $a \widehat {O } b$ si prendano i due punti $A$ e $B$ tali che $OA \cong OB$ . Sia $C$ un punto della bisettrice. Dimostra che i triangoli $BCO$ e $ACO$ sono congruenti.